Discussione: Aiuto per problema di logica

-Jeko-

#16 21-11-07 23:27

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Un ultimo problema:
Calcola in quanti diversi modi possiamo selezionare 3 diversi numeri dall'insieme (1,2,3,....10,) in modo tale che la somma dei tre numeri sia pari.( ad esempio le terne 1,2,3 e 2,4,6 vanno bene mentre le terne 1,3,5 e 1,2,4 non vanno bene). L'ordine di selezione non conta: ad esempio,1,2,3 e 2,3,1 sono considerati la stessa terna

Questo come posso risolverlo? Magari con un fattoriale?

Asax	#17 22-11-07 00:19

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-Jeko-

Un ultimo problema:
Calcola in quanti diversi modi possiamo selezionare 3 diversi numeri dall'insieme (1,2,3,....10,) in modo tale che la somma dei tre numeri sia pari.( ad esempio le terne 1,2,3 e 2,4,6 vanno bene mentre le terne 1,3,5 e 1,2,4 non vanno bene). L'ordine di selezione non conta: ad esempio,1,2,3 e 2,3,1 sono considerati la stessa terna

Questo come posso risolverlo? Magari con un fattoriale?

Sapendo che l'uguaglianza a + b + c = 2n con a, b c appartenenti a ℕ[1, 10] n appartenente a ℕ[3, 12] (cioè la somma è pari) è verificata se e solo se un numero è pari e gli altri due sono o entrambi pari o entrambi dispari puoi separare i vari casi.

Prendiamo il primo numero pari, abbiamo quindi 5 possibilità, ora poniamo di prendere un numero pari, altre 4 possibilità, e quindi un altro pari, 3 possibilità

nel primo caso perciò abbiamo 5x4x3, da dividere però per il fattoriale delle classi..

Insomma, dovrebbero essere combinazioni semplici...
Fai quindi così...



Ed ottieni 5!/(3! x 2!) = 10

Ad esse devi sommare l'altro caso, che è lievemente diverso... ottieni quindi
5 x 5!/(3! x 2!) = 50


60 in tutto... anche se ho qualche dubbio...

marcio3000

#18 22-11-07 00:36

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Squall ido

no, ho capito il mio errore, consideravo le 4 caramelle tutte diverse.
per combinazione lineare intendi il coefficiente binomiale? se è così no perchè devono essere almeno 2 a testa

cmq si può ragionare così:

O O O O

(queste sono le 4 caramelle)

dispongo di 2 sbarrette per poterle dividere in 3 gruppi (anche vuoti)
gli spazi sono 5 (uno tra ogni caramella, uno prima e uno dopo)
dovrebbe essere coefficiente binomiale di 5 su 2 quindi 10

(ricordo che il coefficiente binomiale di n su m è n!/(m!(n-m)!) )

GENERALIZZAZIONE:
n caramelle, p persone, almeno m caramelle a persona

combinazioni: binomiale di n-pm+1 su p-1

correggetemi se sbaglio

bel ragionamento..ma in questo modo forse non consideri i casi in cui le sbarrette vanno a concidere (cioè dai tutte le 4 caramelle ad un solo bambino)
perchè le combinazioni di 5 su 2 considerano esattamente 2 sbarrette in posizioni distinte
quindi secondo me andrebbero sommati i casi limite che sono altri 3
tutte le 4 caramelle alla prima persona o alla seconda o alla terza persona
discutiamone..

-Jeko-

#19 22-11-07 00:38

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Asax

Sapendo che l'uguaglianza a + b + c = 2n con a, b c appartenenti a ℕ[1, 10] n appartenente a ℕ[3, 12] (cioè la somma è pari) è verificata se e solo se un numero è pari e gli altri due sono o entrambi pari o entrambi dispari puoi separare i vari casi.

Prendiamo il primo numero pari, abbiamo quindi 5 possibilità, ora poniamo di prendere un numero pari, altre 4 possibilità, e quindi un altro pari, 3 possibilità

nel primo caso perciò abbiamo 5x4x3, da dividere però per il fattoriale delle classi..

Insomma, dovrebbero essere combinazioni semplici...
Fai quindi così...



Ed ottieni 5!/(3! x 2!) = 10

Ad esse devi sommare l'altro caso, che è lievemente diverso... ottieni quindi
5 x 5!/(3! x 2!) = 50


60 in tutto... anche se ho qualche dubbio...

si, il risultato è 60. Ma purtroppo io non so nemmeno cosa voglia dire 5! e non so cosa voglia dire tutta quella figura. Puoi spiegamelo?

Asax	#20 22-11-07 00:46

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-Jeko-

si, il risultato è 60. Ma purtroppo io non so nemmeno cosa voglia dire 5! e non so cosa voglia dire tutta quella figura. Puoi spiegamelo?

Allora...

Per prima cosa 5! sta per prodotto fattoriale di 5 ed è una notazione che sta per 5 x 4 x 3 x 2 x1 ...

La formula indica le combinazioni semplici di n elementi ( in cui cioè non si considerano eventuali ripetizioni e uso multiplo dello stesso termine) con n si intende il numero di combinazioni totale, fratto k!, cioè il numero di classi, nel nostro caso 3, e il numero di "combinazioni non usate" cioè (n-k)!

marcio3000

#21 22-11-07 01:10

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Asax: anche x me il tuo ragionamento fila controlla il mio post sull'altro problema please
jeko: leggi qui http://www.chihapauradellamatematica...torio_Cap2.htm

-Jeko-

#22 22-11-07 15:59

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marcio3000

Asax: anche x me il tuo ragionamento fila controlla il mio post sull'altro problema please
jeko: leggi qui http://www.chihapauradellamatematica...torio_Cap2.htm

grazie! era proprio quello che stavo per chiedere! I LOVE YOU!

Asax	#23 22-11-07 16:23

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-Jeko-

Vorrei sapere voi come risolvereste questo problema:
In quanti modi possiamo distribuire 10 caramelle a 3 bambini Aldo, Beatrice e Carla, in modo tale che ogni bambino riceva almeno due caramelle?

Le soluzioni

Aldo=3, Beatrice=3, Carla=4
e
Aldo=3,Beatrice=4, Carla=3

Sono due soluzioni diverse.

Vorrei trovare un metodo standard per risolvere questa classe di problemi. Se volete potete anche cambiare i dati.

Ah, il risultato è 15.

Vediamo...

Mi sembra si possa ricondurre al caso precedente...

Se ho ben capito devo usare tutte le caramelle, e le caramelle sono uguali le une alle altre, non importa quindi quale caramella do a chi...

Tutto giusto fin qui?

A questo punto quindi le possibili combinazioni sono poche....

rispettivamente, chiamando le caramelle x
A xxxx
B xxx
C xxx

A xxxxx
B xx
C xxx

A xxxx
B xxxx
C xx

A xxxxxx
B xx
C xx

A xxxx
B xxxx
C xx

Ora, applicando a queste le permutazioni di ordine 3 otteniamo le varie disposizioni.

Ci dovrebbe essere anche un metodo basato sul combinatorio, ma ora come ora non mi viene in mente....

EDIT:

Aspetta, sei sicuro che la soluzione sia 15?

perché ho dimenticato che per applicare la permutazione devo usare il fattoriale.... Pertanto le combinazioni, escludendo le coincidenti, verrebbero 18... (l'unico fattoriale "vero" è quello del caso 2).... Sbaglio da qualche parte?

Squall ido

#24 22-11-07 17:20

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marcio3000

bel ragionamento..ma in questo modo forse non consideri i casi in cui le sbarrette vanno a concidere (cioè dai tutte le 4 caramelle ad un solo bambino)
perchè le combinazioni di 5 su 2 considerano esattamente 2 sbarrette in posizioni distinte
quindi secondo me andrebbero sommati i casi limite che sono altri 3
tutte le 4 caramelle alla prima persona o alla seconda o alla terza persona
discutiamone..

allora vediamo... forse posso mettere la prima sbarretta in 5 posizioni diverse e la seconda, visto che può coincidere, sempre in 5.
a questo punto NON devo dividere per 2 (le possibili permutazioni delle sbarrette) perchè le considero diverse, e anche perchè 25/2 non è intero
però 25 è tantino e il tuo ragionamento filava...

per quanto riguarda l'altro, quello dei pari e dispari...
le terne di numeri possono essere composte da
-tutti pari ---> somma pari
-tutti dispari ---> dispari
-1 pari 2 dispari ---> pari
-1 dispari 2 pari ---> dispari
e a senso direi quindi che la metà sono pari e la metà dispari.
le possibili terne di 10 elementi sono 10!/(7!3!) = 120
120/2=60