Logica proposizionale, soluzione esercizio

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

Salve a tutti,
sto studiando Logica su Corso di Logica di Dario Palladino per l'esame dell'università ma alcuni esercizi o non hanno soluzioni o hanno soluzioni non commentate, per cui sono arrivato ad un punto dal quale non so più come procedere

Per chi avesse il libro, ultima edizione, si tratta dell'esercizio numero 12 del capitolo 2: "Proposizioni composte".

Per chi conoscesse la logica senza avere il libro, invece, scrivo qui sotto l'esercizio:

Si consideri il seguente teorema di geometria:
"Se le diagonali di un rettangolo sono perpendicolari, allora il rettangolo è un quadrato"

Dire quali delle seguenti proposizioni sono ad esso logicamente equivalenti:
a) "Se le diagonali di un rettangolo non sono perpendicolari, allora il rettangolo non è un quadrato"
b) "Le diagonali di un quadrato sono perpendicolari"
c) "Se un rettangolo non è un quadrato, allora le sue diagonali non sono perpendicolari"
d) "Condizione necessaria affinché le diagonali di un rettangolo siano perpendicolari è che il rettangolo sia un quadrato"


Quando l'esercizio dice "logicamente equivalenti" suppongo che chieda di comparare le tavole di verità e vedere quali corrispondono.

Cosa ho fatto, ho diviso il teorema in due proposizioni

A: "Le diagonali di un rettangolo sono perpendicolari"
B: "Il rettangolo è un quadrato"


Si tratta di un condizionale, quindi si può scrivere così:
A → B


Ora, il punto " a) " si può scrivere come:
¬A → ¬B

La cui tavola di verità è diversa da quella di "A → B" per cui non è logicamente equivalente al teorema.


Il punto " b) " invece, si può scrivere semplicemente come:
A

Se non sbaglio si tratta semplicemente di un termine, non è una proposizione, per cui non è logicamente equivalente.



Il punto " c) " invece, si può scrivere come:
¬B → ¬A

La cui tavola di verità corrisponde al teorema di geometria (e infatti la soluzione del libro dice che è corretto)



Il punto " d) " invece, l'ho scritto come:
A ↔ B


Ma la sua tavola di verità è diversa da quella del teorema, e nonostante questo, il libro dice che " d) " è logicamente equivalente al teorema.

Mi chiedo quindi: cosa ho sbagliato? Come risolvo l'esercizio e, soprattutto, PERCHÈ ho sbagliato? (Cosa dovrei correggere, insomma)?

Grazie mille

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

A meno che il fatto che nella d) dica solo "condizione necessaria" e non "condizione necessaria e sufficiente" non significhi che in realtà non è una doppia implicazione ma semplicemente un condizionale, per cui scriverei

A → B


Che è logicamente equivalente al teorema

:\

[SamFisher-92]

Se A, allora per forza B.
Quindi, come dici A-->B.

(il ! lo metto come negazione).

Quindi, se !B, allora sicuramente !A (risposta c), perché altrimenti B sarebbe vera .
Se B è vera, non ci sono informazioni riguardo A, quindi non è detto che B-->A (risposta d).

Quindi io opterei per la c (anche se non è un'opinione).

PS: ammesso che tu abbia scritto bene la c ("il quadrato non è un quadrato"? volevi dire "il rettangolo non è un quadrato").

[Anakynus]

Anche a me non torna. Mi spiego. Mentre il teorema lo leggo "A → B" (Se le diagonali sono in un modo, allora abbiamo un quadrato). Al contrario, il punto D lo leggo B → A (Se il rettangolo è un quadrato, allora le diagonali sono in un modo). La condizione necessaria è che il rettangolo sia un quadrato e la condizione necessaria, di solito, va messa prima
Insomma, lo leggo al contrario.
Cioè, nel teorema, da un punto di partenza, deduci che abbiamo a che fare con un quadrato, mentre nel punto D deduci che le diagonali sono perpendicolari.
Non mi torna.

EDIT
Ho fatto confusione
Il teorema non credo sia A → B, ma A ↔ B.
Ora spiego meglio. Se le diagonali di un rettangolo sono perpendicolari, abbiamo necessariamente un quadrato, in quanto è l'unico rettangolo che ha le diagonali perpendicolari (è una sua proprietà). E' condizione necessaria e sufficiente per poter capire che abbiamo a che fare con un quadrato. Quindi A → B è vero. Però, siccome è condizione necessaria e sufficiente è vero anche il contrario (B → A): se abbiamo un quadrato, allora abbiamo necessariamente a che fare con diagonali perpendicolari. Quindi A ↔ B. Come il punto D da risolto.

[SamFisher-92]

Però A è condizione sufficiente, perché dici che sia anche necessaria? come facciamo a stabilirlo a priori a partire da quell'enunciato? lo so c'è il teorema, ma se ti cerchi il teorema non vale. Mi spiego meglio, tu devi leggere la frase e trarre le informazioni dalla frase, se sono incomplete, ne trai meno conclusioni, ma conclusioni sicure. Credo che stia qui la difficoltà da superare: se A, allora lo chiamo quadrato, non devi essere tentato dal rivoltarla, cosa in cui ero incappato anche io.

Pensa al flip flop (componente elettronico). Questi ha, fra gli altri, un particolare ingresso chiamato PRESET (chiamiamolo A) e poi l'uscita, chiamiamola B. Quando il Preset è attivo, l'uscita B è 1, indipendentemente dagli altri ingressi. Se l'uscita è 1, però, non è detto che sia a causa del Preset A, è probabile, ma può essere dovuto ad una combinazione degli altri ingressi.

Se invece B è 0, l'unica cosa che sai è che sicuramente nessuno ha messo mano al pulsante A, perché, se qualcuno l'avesse premuto, l'uscita sarebbe non 0, ma 1.

La seconda risposta messa dall'OP corrisponde semplicemente a leggerla al contrario.

Sostituisci A e B con le due parti dell'enunciato. Potrei sbagliarmi infatti aspetto qualcuno più competente.

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

Se A, allora per forza B.
Quindi, come dici A-->B.

(il ! lo metto come negazione).

Quindi, se !B, allora sicuramente !A (risposta c), perché altrimenti B sarebbe vera .
Se B è vera, non ci sono informazioni riguardo A, quindi non è detto che B-->A (risposta d).

Quindi io opterei per la c (anche se non è un'opinione).

PS: ammesso che tu abbia scritto bene la c ("il quadrato non è un quadrato"? volevi dire "il rettangolo non è un quadrato").

Ho editato, è "il rettangolo non è un quadrato", pardon!
Quella sicuramente è giusta, infatti, e il libro conferma.

Però tra le soluzioni, il libro dice che anche " d) " è logicamente equivalente al teorema, e non capisco perché!

Anche a me non torna. Mi spiego. Mentre il teorema lo leggo "A → B" (Se le diagonali sono in un modo, allora abbiamo un quadrato). Al contrario, il punto D lo leggo B → A (Se il rettangolo è un quadrato, allora le diagonali sono in un modo). La condizione necessaria è che il rettangolo sia un quadrato e la condizione necessaria, di solito, va messa prima
Insomma, lo leggo al contrario.
Cioè, nel teorema, da un punto di partenza, deduci che abbiamo a che fare con un quadrato, mentre nel punto D deduci che le diagonali sono perpendicolari.
Non mi torna.

EDIT
Ho fatto confusione
Il teorema non credo sia A → B, ma A ↔ B.
Ora spiego meglio. Se le diagonali di un rettangolo sono perpendicolari, abbiamo necessariamente un quadrato, in quanto è l'unico rettangolo che ha le diagonali perpendicolari (è una sua proprietà). E' condizione necessaria e sufficiente per poter capire che abbiamo a che fare con un quadrato. Quindi A → B è vero. Però, siccome è condizione necessaria e sufficiente è vero anche il contrario (B → A): se abbiamo un quadrato, allora abbiamo necessariamente a che fare con diagonali perpendicolari. Quindi A ↔ B. Come il punto D da risolto.

Ah quindi la condizione necessaria va per forza prima? Ok, quindi il punto d), per come l'ho letto io, sarebbe stato B → A! Grazie per la precisazione


Mmmmh, quindi tu dici che il teorema sia A ↔ B? Allora perché "condizione necessaria" lo dice solo per il punto "d)" e negli altri dice "Se...allora..."? Lo fa per ingannare? Insomma, proprio nel capitolo che ho studiato parla dei condizionali presentandoli come dei "Se...allora..." mentre la doppia implicazione la presenta come un "Condizione necessaria..."

dici che sono stato ingannato dalla terminologia? Se è così, l'autore del libro è un gran bastardo xD (lo dico ovviamente in chiave scherzosa XD)


Quindi se il teorema è A ↔ B, allora il punto " c) " sarebbe ¬A ↔ ¬B, che sarebbe equivalente ad esso, giusto? E il punto " d) " sarebbe A ↔ B, uguale al teorema?





PS: Visto che mi ci trovo, mi tolgo un dubbio, nell'esercizio successivo leggo un "Se la gita non è confermata, può darsi che il tempo sia brutto". Per locuzioni come "Può darsi che" ecc. come devo comportarmi? Non sono "traducibili" negli operatori congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione ecc? Grazie mille

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

Però A è condizione sufficiente, perché dici che sia anche necessaria? come facciamo a stabilirlo a priori a partire da quell'enunciato? lo so c'è il teorema, ma se ti cerchi il teorema non vale. Mi spiego meglio, tu devi leggere la frase e trarre le informazioni dalla frase, se sono incomplete, ne trai meno conclusioni, ma conclusioni sicure. Credo che stia qui la difficoltà da superare: se A, allora lo chiamo quadrato, non devi essere tentato dal rivoltarla, cosa in cui ero incappato anche io.

Pensa al flip flop (componente elettronico). Questi ha, fra gli altri, un particolare ingresso chiamato PRESET (chiamiamolo A) e poi l'uscita, chiamiamola B. Quando il Preset è attivo, l'uscita B è 1, indipendentemente dagli altri ingressi. Se l'uscita è 1, però non è detto che sia a causa del Preset A, è probabile, ma può essere dovuto ad una combinazione degli altri ingressi.

Se invece B e 0, l'unica cosa che sai è che sicuramente nessuno ha messo mano al pulsante B, perché, se qualcuno l'avesse premuto, l'uscita sarebbe non 0, ma 1.

La seconda risposta messa dall'OP corrisponde semplicemente a leggerla al contrario.

Sostituisci A e B con le due parti dell'enunciato. Potrei sbagliarmi infatti aspetto qualcuno più competente.

Apetta, tu sostanzialmente dici di invertire A e B? Non risolverei nulla perché l'implicazione tra A → B ha una tavola di verità diversa da B → A!

Però in effetti partendo da un enunciato, io devo lavorare su ciò che da quell'enunciato riesco a sapere, non so se in questo caso io possa attingere a "conoscenze esterne". Certo, come dice Anakynus, così l'esercizio riesce, ma non vorrei che si sia sbagliato l'autore del libro, per cui cerco di capire al 100% prima di dire che ho vinto XD

[SamFisher-92]

Apetta, tu sostanzialmente dici di invertire A e B? Non risolverei nulla perché l'implicazione tra A → B ha una tavola di verità diversa da B → A!

Però in effetti partendo da un enunciato, io devo lavorare su ciò che da quell'enunciato riesco a sapere, non so se in questo caso io possa attingere a "conoscenze esterne". Certo, come dice Anakynus, così l'esercizio riesce, ma non vorrei che si sia sbagliato l'autore del libro, per cui cerco di capire al 100% prima di dire che ho vinto XD

Scusa hai quotato prima del mio edit, puoi rileggere? (o almeno correggi "pulsante B" con "pulsante A"). No stavo rispondendo all'altro utente, ho detto che NON va rivoltato.

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

Ok ho riletto, ma non capisco a quel punto come potrei risolvere!

Poi non ho capito a quale "seconda risposta" ti riferisci! Io come frase al contrario rispetto all'enunciato, leggo la a) (e in qualsiasi caso, la tavola di verità non corrisponde a quella del teorema: per quanto riguarda la doppia implicazione, si possono invertire A e B e non cambia nulla, ma nel caso dell'implicazione "semplice", invertire A e B significa cambiare anche i valori di verità).
La b) invece non mi sembra una frase, ma una semplice definizione!

Anche la soluzione dell'esercizio, infatti, non dice nulla su "a)" e "b)" sostenendo che le uniche logicamente corrispondenti al teorema sono la "c)" e la "d)". A questo punto devo capire se ho sbagliato io e dove, o se ha sbagliato il libro!

Come dice Anakynus, in quel modo risolverei, ma continuo a chiedermi perché - salvo bastardate volontarie - prima abbia usato il "se...allora" e solo per l'ultima "condizione necessaria..."

Tra parentesi, se leggessi l'ultima come implicazione "semplice" e non doppia implicazione, dovrebbe essere - come già detto su: B → A
perché la leggerei così:
"È necessario che il rettangolo sia un quadrato" (B)
"Affinché le diagonali di unr ettangolo siano perpendicolari" (A)

Quindi B → A che però è diversa come veridicità da A → B!


Non saprei...!

[SamFisher-92]

Ok ho riletto, ma non capisco a quel punto come potrei risolvere!

Poi non ho capito a quale "seconda risposta" ti riferisci!

Scusa, per seconda risposta mi riferivo alla b) dell'esercizio, alla semplice definizione, scordiamocela, visto che l'abbiamo scartata entrambi, oltre al libro.

Io come frase al contrario rispetto all'enunciato, leggo la a) (e in qualsiasi caso, la tavola di verità non corrisponde a quella del teorema: per quanto riguarda la doppia implicazione, si possono invertire A e B e non cambia nulla, ma nel caso dell'implicazione "semplice", invertire A e B significa cambiare anche i valori di verità).
La b) invece non mi sembra una frase, ma una semplice definizione!

Anche la soluzione dell'esercizio, infatti, non dice nulla su "a)" e "b)" sostenendo che le uniche logicamente corrispondenti al teorema sono la "c)" e la "d)". A questo punto devo capire se ho sbagliato io e dove, o se ha sbagliato il libro!

Come dice Anakynus, in quel modo risolverei, ma continuo a chiedermi perché - salvo bastardate volontarie - prima abbia usato il "se...allora" e solo per l'ultima "condizione necessaria..."

Tra parentesi, se leggessi l'ultima come implicazione "semplice" e non doppia implicazione, dovrebbe essere - come già detto su: B → A
perché la leggerei così:
"È necessario che il rettangolo sia un quadrato" (B)
"Affinché le diagonali di unr ettangolo siano perpendicolari" (A)

Quindi B → A che però è diversa come veridicità da A → B!


Non saprei...!

Forse perché non abbiamo (né io né tu) la capacità di tradurre l'italiano in logica, pur capendo il significato delle frasi, può darsi semplicemente che va tradotta con A->B proprio come prima. Io ho risolto in questo modo:

1 - se A per forza B (A condizione sufficiente, ma non necessaria).
2 - Se B non per forza A
3 - L'ultima risposta dell'esercizio la leggerei: Se vogliamo A vera a partire da B, allora B deve essere vera (condizione necessaria, infatti lo dice anche la frase "è necessario"). Se B fosse falso, anche A dovrebbe essere falsa essendo vincolati alla 1 (se voglio l'uscita a 0, non devo toccare il preset!!)

Semplicemente una freccetta non esplicita il sufficiente e/o necessario.

[SamFisher-92]

Cerco di spiegarmi meglio ancora a favore dell'ultima risposta dell'esercizio (che non sbaglia):
Se voglio A vero, devo dare per vero anche B di conseguenza, perché la A implica la B.

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

Scusa, per seconda risposta mi riferivo alla b) dell'esercizio, alla semplice definizione, scordiamocela, visto che l'abbiamo scartata entrambi, oltre al libro.

Forse perché non abbiamo (né io né tu) la capacità di tradurre l'italiano in logica, pur capendo il significato delle frasi, può darsi semplicemente che va tradotta con A->B proprio come prima. Io ho risolto in questo modo:

1 - se A per forza B (A condizione sufficiente, ma non necessaria).
2 - Se B non per forza A
3 - L'ultima risposta dell'esercizio la leggerei: Se vogliamo A vera a partire da B, allora B deve essere vera (condizione necessaria, infatti lo dice anche la frase "è necessario"). Se B fosse falso, anche A dovrebbe essere falsa essendo vincolati alla 1 (se voglio l'uscita a 0, non devo toccare il preset!!)

Semplicemente una freccetta non esplicita il sufficiente è necessario.

Aspetta aspetta, non ti seguo più! Non capisco nei vari punti a quali frasi ti riferisci e come tu le abbia interpretate (non so per te "A", "B" ecc a cosa corrispondono), pardon puoi spiegare un po' meglio? Va benissimo la schematicità, ma non vorrei perdermi niente per strada nel ragionamento!

Parlando del punto 3 della tua risposta, tu dici:

Se vogliamo A vera a partire da B, allora B dev'essere vera...E la A? In qualsiasi caso, sia che sia positiva, sia che sia negativa, la tavola di verità non corrisponde!

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

Riletto con l'edit xD

Quindi l'ultima risposta come andrebbe scritta?

A → B ? Non vedrei altro modo! Sia B → A che B → ¬A, hanno tavole di verità diverse da A → B (che è come ho interpretato il teorema), quindi non sarebbero corrette!

[SamFisher-92]

Riletto con l'edit xD

Quindi l'ultima risposta come andrebbe scritta?

A → B ? Non vedrei altro modo! Sia B → A che B → ¬A, hanno tavole di verità diverse da A → B (che è come ho interpretato il teorema), quindi non sarebbero corrette!

Allora facciamo così:
A: "Le diagonali sono perpendicolari".
B: "Il rettangolo è un quadrato".

"Se le diagonali sono perpendicolari (A), il rettangolo è un quadrato (B)" - su questo non ci piove lo dice la traccia.

Ora indichiamo con le minuscole le quattro possibili soluzioni.

a) "Se le diagonali di un rettangolo non sono perpendicolari, allora il rettangolo non è un quadrato" - e chi lo dice? può darsi che lo sia lo stesso un quadrato. Sappiamo che la A rende vera la B, ma se A è falsa, che ne sappiamo della B?

La soluzione b lasciamola perdere.

c) "Se un rettangolo non è un quadrato, allora le sue diagonali non sono perpendicolari" - è giusta! perché se le diagonali fossero perpendicolari, il rettangolo diventerebbe un quadrato, lo dice la traccia.

d) "Condizione necessaria affinché le diagonali di un rettangolo siano perpendicolari è che il rettangolo sia un quadrato" - riscriviamola scambiando qualche parola e noteremo che tutto quadra:

"Affinché le diagonali del rettangolo siano perpendicolari, è necessario che il rettangolo sia un quadrato". E' praticamente la spiegazione della c)!!

[otreblA_SNAKE_[ITA]]

Mmmmh, mi viene un attimo un dubbio: ma stiamo parlando entrambi di logica proposizionale?

Mi spiego: se io scrivessi ""Affinché le diagonali del rettangolo siano perpendicolari, è necessario che il rettangolo sia un quadrato""

Avrei come precedente: "È necessario che il rettangolo sia un quadrato" (B)
E come conseguente: "Affinché le diagonali del rettangolo siano perpendicolari" (A)

Se non sbaglio dovrei scrivere in qualsiasi caso B → A che non corrisponde ad A → B!
Continuo infatti a trovarmi in difficoltà!

Insomma, la " c) " corrisponde alla prima perché ha la stessa identica tavola di verità:

La tavola di verità dell'implicazione (→ appunto) è questa qui sotto:





Mi scuso per la punteggiatura e la scritta a cazzo nell'img: quando ho finito il disegno (visto che il forum mi aveva distrutto le "tabelle" che avevo provato a raffigurare scrivendo) non ho ricontrollato, ma spero di essere stato comunque chiaro.